关系代数

考点分值总览

考点	重要程度	分值	常见题型
传统集合运算	★★★	1~2	选择题
专门的关系运算	★★★★★	2~10	选择、简答、计算、应用题

1. 传统集合运算

前置前提

并、差、交运算要求关系 $R$ 、 $S$ 同目：属性个数相同，对应属性取自同一个域；笛卡尔积无此限制。 $t$ 代表元组变量， $t \in R$ 表示 $t$ 是 $R$ 的一条元组。

示例基础关系 $R$

$A$	$B$	$C$
$a_{1}$	$b_{1}$	$c_{1}$
$a_{1}$	$b_{2}$	$c_{2}$
$a_{2}$	$b_{2}$	$c_{1}$

$S$

$A$	$B$	$C$
$a_{1}$	$b_{2}$	$c_{2}$
$a_{1}$	$b_{3}$	$c_{2}$
$a_{2}$	$b_{2}$	$c_{1}$

（1）并运算 $R \cup S$

公式： $R \cup S = {t ∣ t \in R \lor t \in S}$ 含义：合并两个关系所有元组，去重，结果仍为同目关系。 $R \cup S$ 结果：

$A$	$B$	$C$
$a_{1}$	$b_{1}$	$c_{1}$
$a_{1}$	$b_{2}$	$c_{2}$
$a_{2}$	$b_{2}$	$c_{1}$
$a_{1}$	$b_{3}$	$c_{2}$

（2）差运算 $R - S$

公式： $R - S = {t ∣ t \in R \land t \notin S}$ 含义：保留只属于 $R$ 、不在 $S$ 中出现的元组。 $R - S$ 结果：

$A$	$B$	$C$
$a_{1}$	$b_{1}$	$c_{1}$

（3）交运算 $R \cap S$

公式： $R \cap S = {t ∣ t \in R \land t \in S}$ 等价写法： $R \cap S = R - (R - S)$ 含义：取出同时存在于 $R$ 和 $S$ 的公共元组。 $R \cap S$ 结果：

$A$	$B$	$C$
$a_{1}$	$b_{2}$	$c_{2}$
$a_{2}$	$b_{2}$	$c_{1}$

（4）笛卡尔积 $R \times S$

公式： $R \times S = {\hat{t_{r} t_{s}} ∣ t_{r} \in R \land t_{s} \in S}$ 规则：

$R$ 为 $n$ 目、 $S$ 为 $m$ 目，结果为 $n + m$ 列；
$R$ 有 $k_{1}$ 条元组， $S$ 有 $k_{2}$ 条元组，结果总元组数 = $k_{1} \times k_{2}$ ；
每一条 $R$ 的元组，依次拼接 $S$ 的每一条元组。

2. 专门的关系运算（核心必考）

（1）选择 $σ_{F} (R)$ （行筛选）

又称限制，按行筛选满足条件的元组。公式： $σ_{F} (R) = {t ∣ t \in R \land F (t) =^{'} 真^{'}}$

$F$ ：逻辑条件表达式，格式 $X_{1} θ Y_{1}$ ；
$θ$ 为比较符： $>, \geq, <, \leq, =, \neq$ 。

（2）投影 $π_{A} (R)$ （列截取，自动去重）

公式： $π_{A} (R) = {t [A] ∣ t \in R}$ 含义：选取指定属性列，丢弃其余列；若投影后出现重复元组自动删除。示例： Student表含Sname、Sdept等字段

查询姓名与院系： $π_{S n a m e, S d e p t} (S t u d e n t)$
只查询院系： $π_{S d e p t} (S t u d e n t)$ ，重复CS只保留一行。

（3）连接 $⋈$

本质：先做笛卡尔积，再按条件筛选匹配元组。通用公式： $R \underset{A θ B}{⋈} S = {\hat{t_{r} t_{s}} ∣ t_{r} \in R, t_{s} \in S \land t_{r} [A] θ t_{s} [B]}$

① 等值连接

$θ$ 取等号=，仅筛选属性值相等的元组，保留重复同名列。 $R \underset{A = B}{⋈} S = {\hat{t_{r} t_{s}} ∣ t_{r} \in R \land t_{s} \in S \land t_{r} [A] = t_{s} [B]}$

② 自然连接（特殊等值连接）

要求两张表同名属性做等值匹配；
结果自动删除重复的同名列；
同时完成行筛选+列去重两步操作。

③ 外连接

左外连接：自然连接结果 + 左表中未匹配成功的元组，右表字段补null；
右外连接：自然连接结果 + 右表中未匹配成功的元组，左表字段补null；
全外连接 = 左外连接 $\cup$ 右外连接，保留左右两边所有不匹配元组，空缺填null。

（4）除运算 $\div$

定义

$R (X, Y)$ 、 $S (Y, Z)$ ， $R$ 与 $S$ 中 $Y$ 属性域相同； $R \div S$ 结果仅保留 $X$ 列，筛选规则： $X$ 上某值 $x$ 对应的 $Y$ 值集合（象集 $Y_{x}$ ）包含 $S$ 中全部 $Y$ 投影。公式： $R \div S = {t_{r} [X] ∣ t_{r} \in R \land π_{Y} (S) \subseteq Y_{x}}$

典型例题

题目：查询至少选修1号、3号课程的学生学号

构造临时关系 $K$ （仅含Cno：1、3）；
表达式： $π_{S n o, C n o} (S C) \div K$ ；
输出满足两门课都选的学号集合。

综合查询例题

题目：查询至少选修先行课为5号课程的学生姓名表达式：

π_{S n a m e} (π_{S n o} (σ_{C p n o =^{'} 5^{'}} (C o u r s e) ⋈ S C) ⋈ π_{S n o, S n a m e} (S t u d e n t))

解析：

$σ_{C p n o =^{'} 5^{'}} (C o u r s e)$ 筛选先行课为5的课程；
和SC自然连接，拿到选该课的学号；
和Student投影后的学号、姓名表连接；
最终投影只输出学生姓名。

课时二练习题

1. 选择题

关系数据库管理系统应能实现的专门关系运算包括（）。 A. 排序、索引、统计 B. 选择、投影、连接 C. 关联、更新、排序 D. 显示、打印、制表 答案：B

2. 简答：等值连接与自然连接的区别

等值连接只要求比较属性值相等，允许两张表比较属性名不同；自然连接必须是同名属性等值匹配；
等值连接结果保留重复的匹配属性列；自然连接自动删除重复同名列；
等值连接仅做行筛选；自然连接同时完成行筛选+重复列删除。

3. 计算： $R \div S$

$R$

$A$	$B$	$C$	$D$
$a$	$b$	$c$	$d$
$a$	$b$	$e$	$f$
$a$	$b$	$h$	$k$
$b$	$d$	$e$	$f$
$b$	$d$	$d$	$l$
$c$	$k$	$c$	$d$
$c$	$k$	$e$	$f$

$S$

$C$	$D$
$c$	$d$
$e$	$f$

解：

$S$ 投影 $π_{C, D} (S) = {(c, d), (e, f)}$ ；
遍历 $R$ 中 $(A, B)$ 的象集：
- $(a, b)$ 对应 ${(c, d), (e, f), (h, k)}$ ，包含 $S$ 全部元组；
- $(b, d)$ 对应 ${(e, f), (d, l)}$ ，不包含 $(c, d)$ ；
- $(c, k)$ 对应 ${(c, d), (e, f)}$ ，包含 $S$ 全部元组；
结果 $R \div S$ ：
$A$ $B$
$a$ $b$
$c$ $k$

$A$	$B$
$a$	$b$
$c$	$k$

4. SPJ四表查询

关系模式： $S (S N O, S N A M E, C I T Y)$ $P (P N O, P N A M E, C O L O R, W E I G H T)$ $J (J N O, J N A M E, C I T Y)$ $S P J (S N O, P N O, J N O, Q T Y)$

1）求供应J1工程零件的供应商号

π_{S N O} (σ_{J N O =^{'} J 1^{'}} (S P J))

2）求供应J1工程、P1零件的供应商号

π_{S N O} (σ_{J N O =^{'} J 1^{'} \land P N O =^{'} P 1^{'}} (S P J))

3）求供应J1工程红色零件的供应商号

π_{S N O} (σ_{J N O =^{'} J 1^{'}} (S P J) ⋈ σ_{C O L O R =^{'} 红 色^{'}} (P))

4）求至少使用天津供应商生产的红色零件的工程号

π_{J N O} (σ_{C I T Y =^{'} 天 津^{'}} (S) ⋈ S P J ⋈ σ_{C O L O R =^{'} 红 色^{'}} (P))

5）求至少使用S1供应商全部零件的工程号

π_{J N O, P N O} (S P J) \div π_{P N O} (σ_{S N O =^{'} S 1^{'}} (S P J))

5. 雇员、工作、公司、主管多表查询

模式：雇员(员工姓名,居住城市,居住街道) 工作(员工姓名,公司名,工资) 公司(公司名,公司所在城市) 主管(员工姓名,主管姓名)

1）找出在firstbank工作的员工姓名

π_{员 工 姓 名} (σ_{公 司 名 =^{'} f i r s t b a n k^{'}} (工 作))

2）firstbank员工姓名+居住城市

π_{员 工 姓 名, 居 住 城 市} (σ_{公 司 名 =^{'} f i r s t b a n k^{'}} (工 作) ⋈ 雇 员)

3）firstbank、工资>1000的员工姓名+工资

π_{员 工 姓 名, 工 资} (σ_{公 司 名 =^{'} f i r s t b a n k^{'} \land 工 资 > 1000} (工 作))

4）所有员工工资都大于1000的公司名

π_{公 司 名} (公 司) - π_{公 司 名} (σ_{工 资 \leq 1000} (工 作))

5）主管Smith下属员工姓名+居住城市

π_{员 工 姓 名, 居 住 城 市} (σ_{主 管 姓 名 =^{'} S m i t h^{'}} (主 管) ⋈ 雇 员)

关系代数 ​

考点分值总览 ​

1. 传统集合运算 ​

前置前提 ​

（1）并运算 R∪S ​

（2）差运算 R−S ​

（3）交运算 R∩S ​

（4）笛卡尔积 R×S ​

2. 专门的关系运算（核心必考） ​

（1）选择 σF(R)（行筛选） ​

（2）投影 πA(R)（列截取，自动去重） ​

（3）连接 ⋈ ​

① 等值连接 ​

② 自然连接（特殊等值连接） ​

③ 外连接 ​

（4）除运算 ÷ ​

定义 ​

典型例题 ​

综合查询例题 ​

课时二 练习题 ​

1. 选择题 ​

2. 简答：等值连接与自然连接的区别 ​

3. 计算：R÷S ​

4. SPJ四表查询 ​

5. 雇员、工作、公司、主管多表查询 ​