逻辑代数

1. 逻辑运算及逻辑门

1.1 基础逻辑门（与、或、非、异或、同或）

门电路规则、表达式、完整真值表

（1）与门

• 逻辑符号：双输入矩形与门
• 逻辑规则：输入全1输出1，其余输出0
• 表达式：$F=A\cdot B$ | A | B | F | |---|---|---| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 |

（2）或门

• 逻辑符号：弧形或门
• 逻辑规则：输入全0输出0，其余输出1
• 表达式：$F=A+B$ | A | B | F | |---|---|---| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 |

（3）非门（反相器）

• 逻辑符号：三角形加输出小圆圈
• 逻辑规则：输入1输出0，输入0输出1
• 表达式：$F=\bar{A}$ | A | F | |---|---| | 0 | 1 | | 1 | 0 |

（4）异或门

• 逻辑符号：输入端双弧线或门
• 逻辑规则：输入不同输出1，输入相同输出0
• 表达式：$F=A\oplus B$ | A | B | F | |---|---|---| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 |

（5）同或门

• 逻辑符号：异或门输出加小圆圈
• 逻辑规则：输入相同输出1，输入不同输出0
• 表达式：$F=A\odot B$ | A | B | F | |---|---|---| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 |

1.2 复合逻辑门

1. 与非门

   • 符号：与门输出加小圆圈
   • 表达式：$F=\overline{A\cdot B}$
   • 真值表 | A | B | F | |---|---|---| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 |

2. 或非门

   • 符号：或门输出加小圆圈
   • 表达式：$F=\overline{A+B}$
   • 真值表 | A | B | F | |---|---|---| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 |

1.3 多输入异或/同或速算结论

例题：连续5个1异或 $1\oplus 1\oplus 1\oplus 1\oplus 1=1$

1. 异或总结
   • 偶数个1异或结果为0；奇数个1异或结果为1
   • 任意数量0连续异或结果恒为0
2. 同或总结
   • 偶数个0同或结果为1；奇数个0同或结果为0
   • 任意数量1连续同或结果恒为1
3. 关系：异或与同或互为取反运算

1.4 特殊门电路

（1）三态门

• 输出三状态：高电平、低电平、高阻态
• 普通逻辑门仅高低电平两种输出，无高阻态

（2）OC门（集电极开路与非门）

• 特性：输出端可直接并联，实现线与逻辑
• 考题：TTL电路中能线与的门电路选OC门；普通与非/或非门不能直接并联输出

2. 逻辑代数规则与常用形式

2.1 反演规则（求反函数）

解题步骤：

1. 给所有与项添加括号
2. 长非号保持不动，内部：与↔或、原变量↔反变量、0↔1 例题：求 $F=\overline{A\stackrel{―}{C}+\stackrel{―}{B}C}$ 的反函数

$$\begin{array}{rl}\bar{F}& =\overline{\stackrel{―}{A\stackrel{―}{C}+\stackrel{―}{B}C}}\\ & =\overline{(A\stackrel{―}{C})+\stackrel{―}{B}C}\\ & =(\bar{A}+C)\cdot \overline{\stackrel{―}{B}+\stackrel{―}{C}}\end{array}$$

2.2 对偶规则（求对偶式$F_d$）

解题步骤：

1. 给与项添加括号
2. 长非号保持不动，内部仅互换与、或，变量不变 例题：$F=\overline{AB+\stackrel{―}{B}+C}$

$$\begin{array}{rl}{F}_d& =\overline{(A+B)\cdot \stackrel{―}{B}\cdot C}\end{array}$$

2.3 与非—与非标准表达式

转换三步：

1. 原式化简为标准与或式
2. 整体叠加两层长非号
3. 利用反演规则拆分，全部转化为与非运算 例题：$F=A(B+C)+BC$

$$\begin{array}{rl}F& =AB+AC+BC\\ & =\overline{\stackrel{―}{AB+AC+BC}}\\ & =\overline{\stackrel{―}{AB}\cdot \stackrel{―}{AC}\cdot \stackrel{―}{BC}}\end{array}$$

2.4 最小项

1. 基础定义
   • 最小项：包含全部输入变量的与项；$n$ 变量共有 $2^n$ 个最小项
   • 编号规则：原变量记1，反变量记0，二进制转十进制为最小项下标$m_i$
2. 编号例题：最小项 $A\bar{B}C\bar{D}EF$ 二进制串：$101011=(101011{)}_2=43$，编号$m_{43}$；6变量总最小项$2^6=64$个
3. 逻辑函数最小项展开例题 三变量函数 $Y=A+BC$

$$\begin{array}{rl}Y& =A\bar{B}\bar{C}+A\bar{B}C+AB\bar{C}+ABC+\bar{A}BC\\ & =m_3+m_4+m_5+m_6+m_7\\ & =\sum m(3,4,5,6,7)\end{array}$$