数制与编码

考试分值与题型

考点	重要程度	分值	常见题型
数制转换	必考	2~4分	填空题
BCD编码	必考	2分	填空题

1. 数制转换

常用进制基数

• 二进制：0、1
• 八进制：0~7
• 十进制：0~9
• 十六进制：0~9、A、B、C、D、E、F

1.1 二进制 ↔ 十进制

二进制转十进制：按权展开法

公式：每一位数字 × 2的位权次幂，整数次幂小数点左递增，小数次幂小数点右递减 例题：

$$\begin{array}{rl}(11001.011{)}_2& =1\times 2^4+1\times 2^3+0\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}\\ & =1\times 16+1\times 8+0\times 4+0\times 2+1\times 1+0\times 0.5+1\times 0.25+1\times 0.125\end{array}$$

十进制转二进制

1. 整数部分：除2取余法，余数从下到上为二进制高位到低位
2. 小数部分：乘2取整法，整数从上到下为二进制小数高位到低位 例题：$(75.625{)}_{10}=(1001011.101{)}_2$

• 整数75反复除以2，取余数逆序得到 1001011
• 小数0.625反复乘2取整数，顺序得到 .101

1.2 二进制 ↔ 十六进制：四位一体法

转换规则：小数点左右每4位二进制分组，不足补0，每组对应1位十六进制 例题1：$(101010.110{)}_2=(2A.C{)}_{16}$ 分组：0010 | 1010 . | 1100 → 2 A . C

例题2：$(7A.3{)}_{16}=(01111010.0011{)}_2$ 每位十六进制展开为4位二进制：7→0111，A→1010，3→0011

1.3 二进制 ↔ 八进制：三位一体法

转换规则：小数点左右每3位二进制分组，不足补0，每组对应1位八进制 例题1：$(11011.11{)}_2=(33.6{)}_8$ 分组：011 | 011 . | 110 → 3 3 . 6

例题2：$(63.2{)}_8=(110011.010{)}_2$ 每位八进制展开为3位二进制：6→110，3→011，2→010

2. BCD编码（8421 BCD码）

基础定义

使用4位二进制表示1位十进制数字，仅能表示0~9，编码规则贴近自然二进制。

转换例题

1. 十进制转8421BCD：逐位十进制数字转4位二进制

   $$(639.7{)}_{10}=(011000111001.0111{)}_{8421BCD}$$

   拆解：6→0110，3→0011，9→1001，7→0111

2. 8421BCD转十进制：每4位二进制分组，转1位十进制

   $$(100010010011.01111001{)}_{8421BCD}=(893.79{)}_{10}$$

   分组拆解：1000=8，1001=9，0011=3，0111=7，1001=9

进制转换总口诀总结

1. 二进制 ↔ 十进制：按权展开、除2取余、乘2取整
2. 二进制 ↔ 十六进制：四位一体分组转换
3. 二进制 ↔ 八进制：三位一体分组转换
4. 十进制与BCD编码：一位十进制对应固定4位二进制码