卡诺图

考试分值与题型

考点	重要程度	分值	常见题型
卡诺图化简普通逻辑函数	必考	10~15分	化简题、设计题
卡诺图化简带无关项逻辑函数	必考	8~10分	化简题、设计题

1. 卡诺图化简普通逻辑函数

1.1 标准卡诺图结构

三变量卡诺图（变量A、B、C）

行：C（0/1），列：AB（00、01、11、10）

C\AB	00	01	11	10
0	$m_0$	$m_2$	$m_6$	$m_4$
1	$m_1$	$m_3$	$m_7$	$m_5$
例：编号110对应$m_6$，最小项$AB\bar{C}$

四变量卡诺图（变量A、B、C、D）

行：CD（00、01、11、10），列：AB（00、01、11、10）

CD\AB	00	01	11	10
00	$m_0$	$m_4$	$m_{12}$	$m_8$
01	$m_1$	$m_5$	$m_{13}$	$m_9$
11	$m_3$	$m_7$	$m_{15}$	$m_{11}$
10	$m_2$	$m_6$	$m_{14}$	$m_{10}$

1.2 卡诺图画图三步法

例题：画出 $F=\sum m(1,5,6,7,11,12,13,15)$ 卡诺图

1. 确定变量数量：4变量，使用四变量卡诺图
2. 绘制空白四变量卡诺图
3. 在对应最小项编号格子填入1，其余填0

1.3 逻辑相邻最小项规则

1. 相邻定义：两个最小项仅有1个变量取值不同，其余全部相同
2. 通用结论：$n$ 变量的任意最小项，拥有 $n$ 个逻辑相邻项 例题：四变量最小项 $AB\bar{C}D$ 共4个相邻项：$\bar{A}B\bar{C}D、A\bar{B}\bar{C}D、ABCD、AB\bar{C}\bar{D}$

1.4 卡诺图标准化简四步骤

1. 画出对应变量的卡诺图，按最小项填1/0
2. 圈卡诺圈（圈内1的数量必须为 $2^k$：1、2、4、8……，圈尽可能大）
3. 每个卡诺圈消去变化变量，写出圈对应的与项
4. 所有圈的与项做或运算，得到最简与或式

例题1

化简 $F(A,B,C,D)=\sum m(0,2,3,6,7,8,10,11)$ 分组圈选后合并得到最简式：$F=\bar{B}\bar{D}+\bar{A}C+\bar{B}C$

例题2

化简 $F=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+A\bar{C}\bar{D}+\bar{A}B+ABCD\bar{D}+\bar{A}BC+\bar{A}B\bar{D}$ 先将表达式拆分为最小项填入卡诺图，圈组合并得最简式：$F=\bar{A}+\bar{C}\bar{D}+B\bar{D}$

2. 卡诺图化简带无关项的逻辑函数

2.1 无关项定义

包含两类：

1. 约束项：输入组合永远不会出现，取值无意义
2. 任意项：输入组合出现时输出可0可1 卡诺图中无关项格子标记为 $\times$；圈1时可按需把$\times$当1扩大圈，不参与圈时当作0，目的是得到最简表达式。

2.2 典型例题

例题1

$F(A,B,C,D)=\sum m(0,4,9,13,14)+\sum d(2,5,7,8,10,15)$$d$ 为无关项，$\times$ 按需划入卡诺圈，化简结果： $F=\bar{B}\bar{D}+BD+\bar{A}\bar{C}\bar{D}+A\bar{C}D+ABC$

例题2

已知约束：所有输入不能同时为0；A、B不能同时为1 $Y=A\bar{B}\bar{C}+\bar{B}\bar{C}D+\bar{A}\bar{C}D+A\bar{B}C\bar{D}+\bar{A}\bar{B}C\bar{D}$ 约束对应的最小项标记$\times$，圈选后最简式：$Y=\bar{B}\bar{D}+\bar{C}D$

例题3

$$\{\begin{array}{l}Y=C\bar{D}(A\oplus B)+AB\bar{C}+\bar{A}\bar{C}D\\ \mathrm{约}\mathrm{束}\mathrm{条}\mathrm{件}：AB+CD=0\end{array}$$

约束条件 $AB+CD=0$ 代表 $AB=11$ 或 $CD=11$ 的组合为无关项，标记$\times$；填卡诺图圈选后最简式：$F=B+\bar{A}D+AC$

2.3 无关项化简核心技巧

1. 无关项$\times$不是必须圈入，仅当圈入后能减少与项、简化式子时当作1；
2. 不参与圈选的$\times$直接视作0，不影响最终逻辑；
3. 优先用无关项构造更大的卡诺圈，消去更多变量。